《用數學的語言看世界：一位博士爸爸送給女兒的數學之書，發現數學真正的趣味、價值與美》

給曾經害怕數學、不知道學數學有什麼用的你－－
學數學，讓你「多擁有一種靈魂」。

▍東京大學博士、加州理工學院理論物理學研究所所長大栗博司，
帶你用生活的眼光認識、理解重要數學概念，不再害怕數學，
更發現世界隱藏在數學背後的真實面貌。▍

學數學其實就像學一種新的語言，是一扇帶你進入未知世界的門。而這本數學書，就像一本實用的生活會話書，而非硬邦邦的文法課本，以輕鬆而深入淺出的筆法，讓我們體會數學的趣味與美──由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國高中數學，到大學的微積分，以及更進階的複數系統、群論，透過真實生活中的例子及歷史軼事，讓我們拋開對數學的刻板印象，真正認識數學的本質，進而能夠用數學這個「語言」與世界對話。

■　為什麼美國政府會向大眾宣告「不建議女性每年接受乳癌篩檢」？
■　「納皮爾常數」可以用來挑選戀人，現代天文學之父克卜勒甚至以它來挑選再婚對象！
■　畢達哥拉斯的弟子發現了無法化為分數的數，卻因此惹來殺身之禍？
■　不能理解「負數」概念別擔心，因為連帕斯卡、笛卡兒等偉大數學家也都沒辦法接受！
■　如果少了質數，我們可能再也沒辦法網路購物？
■　「對數函數」的發明，讓天文學家壽命延長了兩倍！
■　古希臘人如何在西元前3世紀就知道「地球是圓的」，甚至算出地球的大小？
……

不論你過去是否討厭數學，本書將讓你看見它的本質，
以及它在歷史上及現代生活中扮演的角色，發現學習數學的意義及樂趣！


【國內數學專家、學者，共感推薦！】

李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長）
林福來（台師大數學系講座教授、數學教育中心主任）
林壽福（興雅國中退休教師、台師大傑出校友）
施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任）
洪萬生（台師大數學系退休教授）
陳記住（網路數學課程創作老師）
賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授）

大栗博司希望透過書中的豐富內容啟發女兒與讀者明白「數學是為了將事物回歸到基本原理、盡可能正確地表現出事物樣貌而產生的語言。」使用數學的語言可以精準的描述自己的想法，展現自主思考的能力。伽利略認為「自然寫在宇宙這本大書上，而這本書是用數學語言寫成的。」如今大家身處大數據資訊洪流裡，如何萃取當中的本質，建立模式，更需要依賴數學的語言。
──李信昌（數學網站「昌爸工作坊」站長）

在新課綱朝向真實世界與學科知識結合的素養教育中，現象與人類之間的溝通，更需要順暢的語言進行流動。透過本書風趣、真實的文字敘述，讓我們找到數學的視覺、聽覺與觸覺的新感受，跨越數學與生活的鴻溝，咀嚼思考所帶來的驚艷與感動！
──施信源（新北市龍埔國小國際教育中心主任）

傑出物理學家大栗博司至少精通四種語言：日文、英文、物理，以及數學。不過，他透過本書內容精彩而手法獨到的敘事，最想與他女兒及讀者分享的，則莫過於數學語言。這是因為他認為「數學是一種為了可以正確的表示事物本質而創造的語言，而這一點正是英語或日語無法達到的。」所以，「如果明白了數學這種語言，就能夠說出以前無法述說的話語、看清以前不曾見過的事物，思考以前不曾想過的問題。」
──洪萬生（台灣師範大學數學系退休教授）

這是一本以愛為出發點所寫的數學書，讀起來感覺特別好。雖然是作者為剛進高中的女兒所寫的書，考慮作者女兒的知識背景，由最基本的算術、方程式、基本幾何、畢氏定理、機率等國中數學的學習內容，詳加引導，依序推演到高中數學，並於第七章介紹大學理工科必修的微積分，和最末章，介紹在現實世界中不存在，但是確定存在於數學世界的複數系統，處處可見一位父親，為女兒的學習路步步建立生動且一貫的系統，為其日後學習建立最佳榜樣，及日後學習最佳基礎。
　由於本人所學的是工程，雖然現在是數學老師，但有些內容都是第一次接觸，也算是讀本書最大的收獲。相信對高中生、大學生、和熱愛數學的人來說，不但可以從本書中得到許多寶貴的數學知識，也可以感受到一位父親對女兒的愛，而這愛將由本書流到愛閱讀的讀者裡面，成為日後學習的動力與最大幫助。
──陳記住（網路數學課程創作老師）

有涉獵數學科普書的朋友，一定對書中某幾個數學故事不陌生：無限個房間的旅館，某天來了無限多位客人；從辛普森殺人案件中討論機率；質數在加密解密上的應用……事實上，書中所用的都是相當經典的數學故事。但看過不代表就沒意思，經典之所以是經典在於它能讓人印象深刻。所以我們看到羅密歐與茱麗葉的故事不斷被改編，金庸小說每隔幾年就被拿上螢幕重拍一次。透過不同的詮釋，經典會被賦予不同的感受。大栗博司教授就是一位能充分發揮數學經典魅力的作家。
　伽利略說過：「自然界的書是用數學的語言寫成。」把學校課本視為文法書，這本書視為旅遊會話書，重新以語言的角度來看待數學，活用數學。相信習慣後，你的思維也會被數學固有的特質，雕塑得更加精確，更有邏輯性。現在，準備好閱讀這本用數學寫下的經典童話了嗎？
──賴以威（「數感實驗室」共同創辦人、台師大電機系助理教授）

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《喚醒你與生俱來的數學力：重整邏輯思考系統，激發數理分析潛能的七個關鍵概念》

NHK、《日本經濟新聞》、《東洋經濟週刊》等日本各大媒體雜誌採訪報導
獲選為日本全國最強數理補習班「永野數學塾」創辦人──永野裕之
專為「激發內在數學潛能」設計的獨門課程

◎專為「害怕數學的人」設計的數學邏輯思考書！不靠算式說明，對數學過敏的人也能輕易讀懂！
◎寫法直白易讀、幽默風趣，就像作者親自幫你上課，讓你不知不覺對數學開竅！
◎舉例豐富且貼近生活，除了開發數學腦也可同時增進各領域知識！

我們都聽過學數學可以訓練邏輯，也認同邏輯思考的重要性，但如果數學成績不好，也能學習「有邏輯地思考」嗎？很幸運地，答案是肯定的，而且「每個人」都可以學得會。

一般人經常誤以為數學是「計算」出答案，但其實學數學的目的在於「學習如何數理化的思考」。別擔心，本書不是要教你數學，而是要透過生活化的舉例告訴你如何「喚醒與生俱來的數學力」。「數學力」就是一種「數理性的思考模式」，它內建在每個人的腦袋裡，也和天分、數學成績無關，因此只要培養這種思考習慣，人人都可以擁有邏輯思維。

懂得善用數學力不僅可以幫助學習，在生活中也能幫助我們釐清複雜的思緒，進而提高效率，或讓我們得到更高的成就感。然而礙於習慣、環境或心理等因素，數理性思維往往只是「靈光一閃」地出現，因此，如何讓「無意識」的思維轉為「有意識」的思考過程就是喚醒數學力的關鍵。

本書作者透過趣味的舉例，並將數理化思維拆解成以下七個面向，不僅可以讓你在學習過程中輕鬆套用，於職場、人際關係或日常生活上也將替你帶來極佳的優勢：

1. 歸納整理：導出事物背後隱藏的訊息
2. 順序概念：讓決策和證明遵循邏輯
3. 等價／因果轉換：提升說服力、做出準確決定
4. 抽象化：化繁為簡，看穿事物共通的本質
5. 具象化： 傳達想法，訊息不失真
6. 逆向思考：拓展多元視角
7. 培養數學的美感：發現並感受「數學之美」　　


「原來，我也有數學力啊！」，日本網友感動好評－－

雖然除非是某些特定職業，否則就算數學不好大概也不會有什麼不方便。但「有邏輯地思考」卻是各種職業都會要求的能力。所以，就算不是想要精進數學的人，對於社會人士來說，我認為這本書的思考法也相當值得參考！－－f2039

我的主管把這本書當成回家作業，叫我回家好好讀一讀（笑）。讀來有趣的是，雖然這是數學書，裡面竟然放了閱讀測驗、芥川龍之介的情書等，真的也很適合社會組的人看呢。就像是作者溫柔地對我說：「想要讓寫作或說話更有邏輯，看這本書不錯唷～」。－－Yukiho Akechi

「你平常在不經意時，其實也會用到數學式思考噢。」像這樣，這本書溫柔地提醒了我這點。就算是我這種一看到數字就怕的人，對於邏輯式思考的排斥感大概減少了40%吧！另外書中也用了許多像是芥川龍之介的情書、古典音樂等，看起來和數學無關的例子，也讓我很有好感。－－Morinobu Ishikawa

比起看那種「教你怎麼讀書」的書，或許把這本書好好看完，更能訓練腦袋瓜也說不定！－－erk@節約浪人

記得從國二學到「證明」的時候開始，我就搞不清楚到底學數學要做什麼了。但即使是這樣的我，因為讀了這本書，我瞭解到「數學式思考」的精華是什麼，並體會到了它的重要性與用處。－－garagevoice

希望所有會講「因為我是社會組的，所以我數學不好」的人都可以看看這本書。只要發覺「其實自己會潛意識地使用數學式思考來想事情」，就能簡單學會「數學式思考」了！－－Yamamoto Shinichi

會解曾經解過的題目，不代表你的數學好；計算速度很快，也不代表你的數學很強。「二元二次方程式的解法或微積分之類的，出了社會根本就用不到嘛！」，可能有人會像這樣質疑數學的必要性，但學數學其實是為了鍛鍊「以有邏輯的方式思考的能力」。回答閱讀測驗和數學題的時候，用腦的方式是相同的，並且是出社會之後必要的能力之一。誠摯推薦給所有看到數字或符號就頭暈的人。－－Maebashi Takumi

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《這個問題，你用數學方式想過嗎？》
★★數學思維是一種必備知識，也是一種核心技能★★

――――超過50,000人都在學，最容易上手的數學思維學習書――――
了解事物的本質，正確運用邏輯思考，循序漸進解決問題

★畢達哥拉斯獎、卡爾•沙根科普獎得主，《數學的語言》作者又一力作
★百萬人爭讀、比臉書和推特用戶成長更快――超夯線上教育平台Coursera廣受歡迎的公開課
★臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀•合譯

空白頁上寫著「此頁留白」，那一頁到底是不是空白的？
所有的鳥類都會飛，所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看！
有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
(大象會爬樹) ⇒ ( 3是無理數)
(歐幾里得的生日是7月4日) ⇒ (長方形有四個邊)
(凱撒死了) ⇒ (π > 3)
若蘋果紅了，則它可以吃了
看起來理所當然的事，真的如此確定無誤嗎？

▍為什麼要用數學來思考？

數學不是只有＋－×÷、函數、微積分，但是，用數學來思考可以幫我們做什麼？
►讓我們有能力來提出明確的關鍵性問題
►讓我們以數學的嚴謹來識別和描述問題
►讓我們用數學的精確來分析和解答問題

▍誰需要學習數學思考？

讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能，到具有決定性的解析思維能力！
►希望提升分析思考技巧和擁有創新思維的人
►高中生、大學生，打算主修數學比重高的科目的學生
►無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或套程序來應用的人

▍為什麼要用這本書來學數學思考？

完全用不到數學步驟的數學思維入門課，大師親授一流的思考法則！
►史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課菁華集結
►超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書
►像學習騎腳踏車一樣的數學思維訓練，剛開始總是跌倒，成功卻非遙不可及

▍先理解問題的意義，再依序解決問題

數學家說，在他還沒有證明，或是尚未看到具有說服力的證明之前，他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。
「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算；「數學思維」則是一種思考事物的明確方法，且思考對象不限於數學。
如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去，或者一個程序來應用，那麼，你該怎麼辦？
答案是：思考這個問題！

本書作者齊斯‧德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家，致力於對大眾教授和傳播數學。
他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程，吸引了全球超過50,000人爭相註冊，本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

本書的目標是協助發展數學思維的方法，而不是學習記誦一堆千篇一律的規則，窒礙了你的思考！
無論是希望提升分析思考技巧的讀者，或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生，都能從書中學習到如何研究一個新問題，換個方式思考直覺看來正確的事物。
讓看不見的得以被看見，讓不可解的問題得以被解決，讓我們學習像數學家一樣思考！

作者簡介大栗博司加州理工學院Walter Burke理論物理學研究所所長、Fred Kavli名譽教授，數學、物理、天文部門副部門長。也擔任東京大學Kavli數物聯合宇宙研究機構主任研究員。1962年生，京都大學理學部畢業，東京大學理學博士。曾任東京大學助理、普林斯頓高等研究所研究員、芝加哥大學助理教授、京都大學助理教授、加州大學柏克萊分校教授。研究專業為基本粒子論。2008年獲得艾森巴德獎（美國數學學會）、高木lecture（日本數學學會），2009年獲得洪保德獎、仁科紀念獎、12年賽門斯研究獎。亞斯本物理學中心理事，日本數學會會員。著有《重力是什麼》、《強的力與弱的力》、《大栗老師的超弦理論入門》、《基本粒子論的風景》、《用漫畫學超弦理論》等。永野裕之一九七四年生於東京，畢業於東京大學理學部地球行星物理學系、東京大學宇宙科學研究所（現JAXA）肄業。高中時代曾代表日本參加數學奧林匹克競賽。現任個別指導補習班「永野數學塾（大人的數學塾）」塾長。曾多次受NHK、《日本經濟新聞》、《日經おとなのＯＦＦ》等報章雜誌媒體專訪。「永野數學塾」也曾被《週刊東洋經濟》選為日本全國「數學最強的補習班」之一。齊斯‧德福林Keith Devlin史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人和執行長，也是該校Media X研究計畫創立人之一，以及該校語言資訊研究中心（CSLI）資深研究員，世界經濟論壇院士及美國科學促進協會（American Association for the Advancement of Science）會士。現階段研究重點是運用各種媒材，向各類型的聽眾教授和傳播數學，同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用，以及數學認知等。2003年，以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」，獲得加州眾議院表揚。主持美國國家公共廣播電台《數學小子》（Math Guy）節目。著有《數學的語言》（The Language of Mathematics）等書。

《用數學的語言看世界》

導 讀 一本用數學寫下的經典童話（賴以威）
前 言 送給女兒的數學課

第一話 利用不確定的資訊來判斷
序 O.J. 辛普森（O.J. Simpson）判決案辯護方教授的主張
1 首先來擲骰子吧
2 不會輸的必勝法
3 條件機率以及貝氏定理
4 接受乳癌診斷到底有沒有意義呢
5 從經驗中學習變成從數學學習
6 重大核能事故再次發生的機率
7 O.J. 辛普森有罪嗎？

第二話 回歸基本原理
序 為了創新所需要的能力
1 加法、乘法的三項規則
2 有了減法，然後發現了「零」
3 為什麼負負得正
4 只要有分數，什麼都能分割
5 假分數→帶分數→連分數
6 利用連分數來製作曆法
7 其實不想承認的無理數
8 二次方程式的華麗歷史

第三話 天文數字也不可怕
序 世界初次的原子彈核爆實驗與費米推定
1 大氣中的二氧化碳到底增加了多少呢
1.1 人類究竟消耗了多少能量呢
1.2 人類排放出了多少二氧化碳呢
2 出現天文數字也不可怕
3 讓天文學家的壽命延長兩倍的祕密武器
4 什麼樣的儲蓄方法能讓複利效果最大化呢？
5 銀行存款要幾年才會變成兩倍呢？
6 尋找自然法則中的對數

第四話 不可思議的質數
序 純粹數學之花
1 用「埃拉托斯特尼（Eratosthenes）篩法」尋找質數
2 質數有無限多個
3 質數的出現是有規律的
4 利用「巴斯卡三角形」判定質數
5 通過費馬測試就是質數？
6 守護通訊祕密的「公開金鑰密碼」是什麼？
7 「公開金鑰密碼」的鑰匙─歐拉定理
8 信用卡號碼的傳送與接收

第五話 無限世界與不完備定理
序 歡迎光臨「加州旅館」
1 「1=0.99999…」是無法認同的嗎？
2 阿基里斯追不上烏龜嗎
3 「現在，我正在說謊」
4 「不在場證明」是「反證法」
5 這就是哥德爾的不完備定理！

第六話 測量宇宙的樣貌
序 古希臘人要怎樣測量地球的大小呢
1 基本中的基本──三角形的性質
1.1 證明三角形內角和是180 度
1.2 一輩子也忘不了的「畢達哥拉斯定理」証明法
2 劃時代的想法「笛卡兒座標系」
3 6 維空間、9 維空間、甚至10 維空間
4 歐幾里德定理不成立的世界
5 僅僅只有平行線公理不成立的世界
6 不需從外面觀察就可以知道二維面形狀的「絕妙定理」
7 畫一個邊長100億光年的三角形

第七話 微積分從積分開始
序 阿基米德的信
1 為什麼「從積分開始」呢
2 說到底，面積到底要怎樣計算
3 什麼圖形都ok 的、「阿基米德逼近法」
4 積分究竟在算什麼呢
5 試著積分各式各樣的函數吧
6 飛行中的箭是靜止的嗎
7 微分是積分的逆算
8 指數函數的微分與積分

第八話 真實存在的「幻想的數」
序 幻想的朋友、幻想的數
1 不管怎樣都會出現「平方之後變成負數」
2 從一維的實數到二維的複數
3 複數的乘法是「回轉延伸」
4 利用乘法推導的「加法定理」
5 幾何問題，用方程式來解答！
6 連結三角函數與指數函數的歐拉公式

第九話 測量難度與美
序 伽羅瓦、20 年的生涯與不滅的功績
1 什麼是圖形的對稱性
2 「群」的發現
3 二次方程式「公式解」的祕密
4 三次方程式、為什麼有解
5 「方程式有解」究竟是怎樣一回事呢
6 五次方程式與正20 面體
7 伽羅瓦最後的信
8 算式的難度與形式的美
9 多擁有一種靈魂

後記
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《喚醒你與生俱來的數學力》

前言
【第一章、喚醒你的數學力】
數學式的文章解讀法
發現自己的數學力

【第二章、什麼是數學力？】
算術與數學是兩碼子事
任何人都具備的數學力
提升數學力的祕訣就是「停止背誦」
讓靈光一閃成為必然的現象

【第三章、數理性思維的七個面向】
瞭解七個面向，激發內在數學潛能！

　面向1　整理
　透過分類推理出隱藏性質
　為什麼血型占卜這麼受歡迎？
　要學習「圖形的特性」的理由
　在科學史上留下重要足跡的「數學式」分類
　乘法式整理
　次元增加，世界就會變寬廣
　意願－能力（Will-Skill）矩陣
　準備一份高效率的檢查表
　ECRS 檢查表（改善四原則）

　面向2　順序概念
　選擇時由大到小
　必要條件和充分條件
　合理選擇的原則
　關於「證明」
　正確的證明是由小到大
　「風一吹，木桶店就會賺錢」是真命題嗎？

　面向3　轉換
　換句話說
　活用等價變換
　理解函數
　函數才是真正的因果關係
　①設想的「原因」是否為自變數
　②「原因」是否只對應到一種結果

　面向4　抽象化
　抽象化＝推敲出本質
　歸納出共通的性質
　生活中隨處可見的抽象化
　抽象化的練習
　模型化
　圖論
　柯尼斯堡七橋問題
　圖論的應用

　面向5　具體化
　提出具體實例
　「譬喻」是具體實例的進化形
　從名言當中學習如何創造貼切的譬喻
　往返於具體與抽象之間
　演繹法和歸納法
　演繹法和歸納法的缺點
　什麼情況適用演繹法和歸納法？

　面向6　逆向思考
　能平息怒火的「ABC理論」
　逆、否、對偶命題
　反證法
　阿基米德與王冠
　反證法的陷阱

　面向7　培養數學的美感
　指揮家的練習
　古典音樂的特徵
　和弦與和弦記號
　數學和音樂的共通點
　講求合理性
　利用對稱性
　追求一致性

後記
參考文獻

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《這個問題，你用數學方式想過嗎？》

導讀   洪萬生
序言

導論：本書之為用

1. 數學是什麼？
    1.1 遠超過算術
    1.2 數學的符號
    1.3 現代大學程度的數學
    1.4 為什麼你必須學習這些東西？

2 將語言精確化
   2.1 數學述句
   2.2 邏輯連詞：且、或以及非
   2.3 蘊涵
   2.4 量詞

3 證明
   3.1 何謂證明？
   3.2 反證法
   3.3 證明條件句
   3.4 證明量化命題
   3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
   4.1 整數
   4.2 實數
   4.3 完備性
   4.4 數列

附錄：集合論

索引